Filosofi Matematika

Ahli matematika mengatakan dengan  serius,  orang yang baik menemukan atau menciptakan matematika.  Mereka tidak tahu apakah ada matematika objek  dan mereka juga  tidak tahu apakah teorema  membuktikan benar.  Untuk memasukkan seperti premis  pernyataan tentang sifat matematika dalam sebuah buku tentang matematika dan matematika mengajar adalah sedikit  berisiko. Saya berharap guru matematika atau calon guru tidak akan diminta untuk mempertimbangkan lapangan lain seperti  profesional sejarah, di mana keadaan lebih tepat dan pasti . Atau apakah? Sejak sejarah kebenaran dilihat berbeda oleh berbagai ahli sejarah dan itu tidak mengetahui secara pasti bahwa semua yang terkenal , dan terkenal , kepribadian sebenarnya yang ada dalam sejarah ini mengecilkan surat dakwaan dapat diterapkan pada sejarawan serta ahli matematika . 

Meskipun matematika telah disebut ratunya ilmu dan dianggap tidak tercela dalam metodenya, validitas, dan logika. Itu memang memiliki masalah didasar logikanya, hanya sebagian di kembangkan dan terus berubah dalam metode-metodenya dan isi-isinya. Sementara matematika mungkin jauh lebih tepat daripada ilmu-ilmu sosial dan sedikit lebih tepat daripada ilmu-ilmu fisika. Itu tidak tepat dalam suatu pengertian absolut. Bagi seseorang yang telah di indoktrinasi kebenaran mutlak dan kesempurnaan matematika. Belajar matematika dan sejarah matematika keduanya dapat menjadi mengecewakan (memperhatinkan). Pengembangan matematika telah teratur, berulang-ulang , dan benar-benar berantakan. Mungkin kegiatan kedua yang penting matematika dibuat oleh para pendahulu mereka (yang pertama memproduksi matematika baru). Meskipun proses pengembangan matematika telah menggemparkan, produk-produk akhirnya cukup baik, matematika mengandung beberapa ketidak konsekuenan dan logika paradoks. Terlepas dari fakta bahwa kesulitan-kesulitan logis masih ada di dasar matematika. Terutama dalam matematika terbatas sekali, matematika telah menjadi alat yang akurat dan sangat diperlukan dalam pengembangan sosial, ekonomi, dan teknologi. 

Para matematikawan tidak mengetahui keberadaan objek matematika dan tidak mengetahui bahwa teorema yang mereka buktikan dalah benar. Ilustrasi tentang kenyataan ini dapat dilihat dari fakta tentang  sistem matematika yang didasarkan pada definsi yang mengasumsikan keberadaan entitas matematika. Sebagai contohnya adalah dalil yang dinyatakan oleh ahli logika dari Italia Giuseppe Peano (1858-1932) berikut ini.

(a) 1 merupakan bilangaan asli

(b) Suksesor dari suatu bilangan asli adalah bilangan asli

(c) Tidak ada dua bilangan asli yang memiiki suksesor yang sama

(d) 1 bukan merupakan suksesor dari beberapa bilangan asli

(e) Beberapa sifat dari 1 dan suksesor dari setiap bilangan asli  merupakan sifat  dari semua bilangan asli.

Asumsi terakhir dari dalil di atas disebut dengan prinsip induksi matematika. Jika suksesor berarti penjumlahan dengan 1, maka yang dinamakan bilangan asli adalah 1, 2, 3, .... Namun karena suksesor merupakan istilah yang tak terdefinisi, jika kita mengartikan suksesor dengan pembagian dengan tiga, maka dalil tersebut akan membangkitkan bilangan-bilangan 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ...

Dengan menggunakan postulat ke (v) dan asumsi penjumlahandan perkalian dalam system bilangan asli, maka dalil.

1 + 2 + 3 + … + n= ½ n (n + 1), adalah benar, sebab

(a). Untuk n = 1,maka 1 = ½ . 1 (1 + 1)

(b). Untuk n = 2,maka 1+ 2 = ½ . 2 (2 + 1) atau bentuk lebih umum menjadi

  Andaikan, asumsikan data tersebut

          untuk n = k , maka 1 + 2 + 3 + ….+ k = ½ k (k+ 1)

(c). Andaikan (asumsi) untuk

n =  k +1: 1 + 2 + 3 + … +k + (k + 1)

     =  ½ k (k + 1) + (k + 1), maka= k + 2 .

     = ½ (k + 1) [(k + 1) + 1]

Dengan demikian setelah kita mendefinisikan bilangan asli dengan cara seperti ini  maka kita tidak tahu secara tepat tentang topik pembicaraan.

Hal ini terjadi jika dalil (e) adalah benar. Teorema tersebut adalah benar jika dalil (e) adalah benar. Karena dalil (e) diasumsikan benar tanpa pembuktian, kita tidak benar-benar mengetahui teorema tersebut adalah benar. Dengan demikian logika dan prosedur matematika berimplikasi terhadap kebenaran suatu teorema.

Kesimpulan dari dalil tersebut adalah bahwa Peano mendefinisikan bilangan-bilangan asli, yang mungkin tidak ada, dan kita membuktikan teorema yang mungkin tidak benar tentang bilangan-bilangan tersebut. Sementara ini semua mungkin tampak seperti argumen oleh The Mad Hatter dari alice in wonderland, itu menggambarkan isu-isu penting dalam dasar-dasar matematika yang dipelajari dan diperdebatkan oleh matematikawan, ahli logika, dan filsuf. Seorang Lewis Carrol, pada kenyataannya, matematikawan Charles dogson (1832-1898) (yang juga beberapa yang seorang filsuf).

Pada tahun 1921 para ahli matematika Polandia Jan Lukasiewicz menerbitkan sebuah makalah penelitian tentang logika dengan tiga nilai, dan Amerika Emil Pos menyiapkan sebuah artikel pada sistem logika dengan nilai yang umum. Dalam sistem logika dengan dua nilai merupakan hal yang tidak asing, yaitu pernyataan yang bernilai benar (B) atau salah (S).

Menggunakan kalkulus proposisi, beberapa pernyataan dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan baru yang benar atau salah tergantung pada kebenaran atau kesalahan dari pernyataan individu tersebut. Sebagai contoh, tabel kebenaran dengan dua nilai untuk operasi konjungsi, p dan q yang ditampilkan sebagai berikut. Tabel ini memiliki semua nilai kebenaran yang mungkin untuk  p dan q dan nilai-nilai kebenaran yang dihasilkan oleh konjungsi p dan q.

p	q	p dan q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Jika kedua p dan q adalah pernyataan yang benar, maka pernyataan p dan q adalah  benar. Jika sebaliknya,  p atau q salah, maka pernyataan p dan q adalah salah. Sementara sistem logika dengan dua nilai seperti ini cukup untuk banyak sistem matematika formal, ini tidak cukup baik untuk menggambarkan logika yang diperlukan untuk berfungsi dalam dunia yang didominasi oleh keputusan politik praktis. Sebagian besar kursus alternatif tindakan dalam politik, urusan internasional, ekonomi,, dan perubahan sosial tidak memiliki nilai-nilai benar atau salah. Sayangnya jawaban untuk pernyataan dari bentuk p lebih baik dari bentuk q adalah tidak dapat diputuskan. Sebuah tabel kebenaran untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari p dan q dan menghasilkan nilai kebenaran konjungsi p dan q dituliskan sebagai berikut. Dalam sistem logika dengan tiga nilai ini, nilai ketiga merupakan nilai yang tidak dapat diputuskan (U).

p	q	p and q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S
B	U	U
U	B	U
S	U	S
U	S	S
U	U	U

Melalui  penjelasan tentang situasi di mana p adalah pernyataan yang tidak dapat diputuskan dan q adalah pernyataan yang salah, maka p dan q adalah pernyataan yang salah karena baik pernyataan benar atau salah dalam hubungannya dengan pernyataan salah akan menghasilkan sebuah pernyataan yang salah.

Sementara itu  sistem logika dengan dua nilai harus diajarkan dalam matematika di sekolah untuk membantu siswa dalam menangani aplikasi logika di luar kelas, ini sama pentingnya dengan menggambarkan dan menggunakan sistem logika dengan tiga nilai karena alasan yang sama.